三角関数の加法定理 

youtube 見てるとね、

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

あと３式

これを覚えろ！っていうんだけどさ。数こなしていくうちに覚えちゃうのはいいとして、コスモスだの咲いただのじゃ、順番間違ったときにわからないよね？

咲いたコスモスコスモス咲いた。なのか、コスモス咲いた咲いたコスモス

なのかわからないよね？

それって覚え方としては間違ってるよね？

と思いません？

重要なのは、覚えろ！って言われたら正確な導出はいらん。ってところ。導出はもっと難しいのが解けるようになってからでいい。だいたいでいいの。だいたいで。

そこで

覚えるのは

$ func = sin, cos $

のとき

$ func(\alpha + \beta) = func(\alpha) \cos\beta + func(\alpha + \frac{\pi}{2}) \sin\beta$

これで終わり。三角関数の合成ひねっただけじゃん。と思ったひとは正しい。

次のあたりはグラフの形を覚えてれば自然に覚えちゃうと思うんだけど

$\sin(0) = 0$

$\cos(0) = 1$

$\sin(-\theta ) = -\sin\theta $

$\cos(-\theta ) = \cos\theta $

$\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos\theta $

$\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin\theta $

を組み合わせれば$\sin(\alpha + \beta), \sin(\alpha - \beta), \cos(\alpha + \beta), \cos(\alpha -\beta)$ 出てくるよね。

これでも $ \sin, \cos $ の順がわからんってときは

$\beta$ = 0 のとき

$ func(\alpha) = func(\alpha) どっちだっけA(0) + func(\alpha + \frac{\pi}{2}) どっちだっけB(0)$

と考えれば、

$どっちだっけA(0) = 1,  どっちだっけB(0) = 0$ しかないでしょ。

だから

$どっちだっけA が \cos, どっちだっけBが \sin$

ってわかるわけで、覚える量がぐっと減らせると思うんだ。

これでもめんどくさいひとは オイラー$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 使って

$e ^{i(\alpha + \beta)} = e^{i\alpha} e^{i\beta}$

$ \cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta) = (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta + i\sin\beta)$

を実数部の等式

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $

虚数部の等式

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta+ \cos\alpha \sin\beta $

で覚えるのが１つぶで２式でてきてとってもお得なのでおすすめ。ただし、そもそもオイラーが加法定理→微分→テーラー展開→オイラー なので、式を覚えるために出すのはいいけど、導出にはならんよ。というのは注意

で、なんでアマチュア無線？という話なんだけど、

$ func = sin, cos $

のとき

$ func(\omega t + \phi) = func(\omega t ) \cos \phi + func(\omega t  + \frac{\pi}{2}) \sin \phi$

って、90度違う２つの値(信号)があれば、あとは$\cos ,\sin,$の掛け算して足し算すると、好きな角度差の値がわかる。っていう式なんだよね。

加法定理の利用としてもっとも重要なのがこれじゃないですかね。