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サイコロ(立方体)の対頂点間合成抵抗 サイコロ(立方体)の対頂点間合成抵抗 電験三種向けのYouTube動画を見ていると、サイコロ状の抵抗についての解説があって、さらっと「対称性により」で終わっていることが多い。そこをさらっと終わらせると、わからない人が続出するだろうな……と思いつつ、Claudeさんに手伝ってもらって作りました。 1. 問題設定 立方体の12辺すべてに、同じ抵抗値 R の抵抗を1本ずつ配置する。 このとき、空間対角線で結ばれる対頂点(下図の A と G)の間の合成抵抗を求めよ。 A から電流 I を流し込み、G から流れ出すと考える。 2. 対称性による電位の分類 2.1 回転操作の準備 立方体には、A と G を結ぶ空間対角線 AG を軸として、A と G の位置を変えずに図形全体を自分自身に重ね合わせる回転操作が存在する。たとえばこの軸まわりに120°回転させると、A に隣接する3頂点(B, D, E)が B → D → E → B の順に入れ替わる。 2.2 「回路が同じなら電位も同じ」という原理 ここが直感的に分かりにくいところなので、丁寧に確認する。 この回転操作を行うと、12本の抵抗のつなぎ方(どの頂点とどの頂点が抵抗で結ばれているか)は、回転前とまったく同じ形に重なる。 つまり「回転前の回路」と「回転後の回路」は、見た目のラベルが入れ替わっただけで、物理的には区別のつかない同一の回路である。 同じ回路に、同じ場所(A)から同じ電流 I を流し込めば、対応する点の電位は当然同じ値になるはずである。 もし B と D で電位が違っていたら、「回転しても同じ回路になる」という前提と矛盾してしまう。 したがって、回転で互いに移り合う B, D, E は等電位である。 2.3 次隣接グループも同様 A に隣接しない残り3頂点(C, F, H)についても、同じ回転操作で C → F → H → C と入れ替わることが確認できる。よってこの3頂点も等電位である。 2.4 直感的なまとめ サイコロを回しても抵抗の配置(辺のつなぎ方)は変わらない → 電流の流れ方も変わらない → 回転で入れ替わる点は、回路の中で同じ役割を担っている → 同...
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 スミスチャートの基礎 シナリオ claudeさんと作りました スミスチャートの基礎 - 動画シナリオ オープニング (0:00-0:30) [タイトル画面: 「スミスチャートの基礎 – 高周波回路設計の必須ツール」] ナレーター: 「高周波回路設計の世界へようこそ。今日はRFエンジニアにとって必須の知識、スミスチャートについて解説します。複雑に見えるこの円形のグラフが、なぜ高周波回路設計に革命をもたらしたのか、基礎から学んでいきましょう。」 セクション1: スミスチャートとは何か (0:30-1:30) [スミスチャートの全体図を表示] ナレーター: 「1939年、フィリップ・スミスによって考案されたスミスチャートは、複素インピーダンスや反射係数を視覚的に表現するための強力なツールです。高周波回路では、単純な抵抗だけでなく、リアクタンス成分も重要となります。これらの値を数値で扱うと計算が複雑になりますが、スミスチャートを使えば直感的に回路の特性を理解し、インピーダンス整合の設計が容易になります。」 [スミスチャートの中心点と円周を指し示す] ナレーター: 「スミスチャートの中心は特性インピーダンスZ₀（通常50Ω）を表し、完全整合状態を意味します。外周の円は反射係数の絶対値が1、つまり全反射の状態を表します。」 セクション2: インピーダンス正規化 (1:30-2:30) [正規化インピーダンスの説明図] ナレーター: 「スミスチャートを使う上で重要な概念が『インピーダンス正規化』です。実際の回路の絶対的なインピーダンス値をそのまま扱うのではなく、システムの特性インピーダンスZ₀で割った相対値を使います。」 [正規化の計算例を表示] ナレーター: 「例えば、特性インピーダンスZ₀が50Ωのシステムで、実際のインピーダンスが100 + j75Ωの場合、正規化インピーダンスz = Z/Z₀ = (100 + j75)/50 = 2 + j1.5となります。この正規化された値をスミスチャート上にプロットします。」 [正規化の利点を説明する図] ナレーター: 「インピーダンス正規化の利点は、システムのインピーダンス値に関係なく、同じチャートを使用できることです。また、スミスチャート上では、インピーダンスの比率関係が明確に表現されるため、整合回路の設計が...
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7MHz用 垂直短縮バズーカ

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7MHz用 垂直短縮バズーカ
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三角関数の加法定理

三角関数の加法定理  youtube 見てるとね、 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$ あと３式 これを覚えろ！っていうんだけどさ。数こなしていくうちに覚えちゃうのはいいとして、コスモスだの咲いただのじゃ、順番間違ったときにわからないよね？ 咲いたコスモスコスモス咲いた。なのか、コスモス咲いた咲いたコスモス なのかわからないよね？ それって覚え方としては間違ってるよね？ と思いません？ 重要なのは、 覚えろ！って言われたら正確な導出はいらん。 ってところ。導出はもっと難しいのが解けるようになってからでいい。だいたいでいいの。だいたいで。 そこで 覚えるのは $ func = sin, cos $ のとき $ func(\alpha + \beta) = func(\alpha) \cos\beta + func(\alpha + \frac{\pi}{2}) \sin\beta$ これで終わり。三角関数の合成ひねっただけじゃん。と思ったひとは正しい。 次のあたりはグラフの形を覚えてれば自然に覚えちゃうと思うんだけど $\sin(0) = 0$ $\cos(0) = 1$ $\sin(-\theta ) = -\sin\theta $ $\cos(-\theta ) = \cos\theta $ $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos\theta $ $\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin\theta $ を組み合わせれば$\sin(\alpha + \beta), \sin(\alpha - \beta), \cos(\alpha + \beta), \cos(\alpha -\beta)$ 出てくるよね。 これでも $ \sin, \cos $ の順がわからんってときは $\beta$ = 0 のとき $ func(\alpha) = func(\alpha) どっちだっけA(0) + func(\alpha + \frac{\pi}{2}) どっちだっけB(0)$ と考えれば、 $どっちだっけA(0) = 1,...
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3ポジションスイッチを使った校正器

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3ポジションスイッチを使った校正器 nanoVNA人気なのはよろこばしい限りなんですが、付属のケーブルの先で小さな終端をつけたりはずしたりしてるんで、 いやー、それつけたりはずしたりしている位置でのインピーダンスを測定するんだから、ちゃんと知りたいインピーダンスのところでやりましょうよ。 ということで作ったものです。みんな作ってるだろうと思ってたんですが、どうやらそうでもなさそうなので、ちょこっと発表します。 回路はいたって簡単。 これだけです。これで、開放、短絡、終端が3ポジションスイッチで切り替えられます。 使用できる帯域ですが、 大きさが $\frac{1}{100}\lambda $くらいまでが目安かと思います。
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複数電源と抵抗からなる回路の電流を求める

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複数電源と抵抗からなる回路の電流を求める １アマ試験でこの問題は頻出で、たしか私が受けたときの試験にもでました。キルヒホッフで解いた覚えがあります。重ね合わせだろうが鳳テブナンだろうが、１次式で表せることが本質なので、キルヒホッフで解けるはずです。解けるはず。という信念で当たればどうということはないです。時間は十分あるはずです。 そういうチカラ技を他のひとに強制するのもなんですし、このパターンを回路を簡単にしていく解き方としては、だいたいは重ね合わせか鳳テブナンなわけでして、最終的に求めるのが電流なら重ね合わせかなあ？だと思っていたのですが、ミルマンがしっくりくる。とか言われると、内心おだやかではいられないのです。 (^_^;; というわけでページを追加します。 鳳テブナンで行ってみますか。 左の２つのノードを１つにすると、右のようになります。受動素子だけから成る回路は結局は１次式で表せることができるのですから、開放電圧と内部抵抗で等価回路が組めるはずです。というのが鳳テブナンで、 $r_{12} = r_1 /\!/ r_2 = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$ $v_{12} = v_2 +(v_1-v_2)\frac{r_2}{r_1 + r_2} $ $ = \frac{(r_1 + r_2)v_2 + r_2 v_1 - r_2 v_2}{r_1 + r_2}$ $ = \frac{r_1 v_2 + r_2 v_1}{r_1+ r_2} $ 開放電圧($r_3$ のノードをつながないときの電圧)がどうなるかで $v_{12}$ を求め、電圧源はショートにして合成抵抗を出すことで $r_{12}$ を求めます(鳳テブナン) 求める $r_3$に流れる電流 $i$ は $ i = \frac{v_{12}-v_3}{r_{12}+r_3} $ $ = \frac{\frac{r_1 v_2 + r_2 v_1}{r_1+ r_2} - v_3}{\frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}+ r_3}$ $ = \frac{r_1(v_2 - v_3) + r_2(v_1 - v_3)}{r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3} $ この式なら対称性あるんで、ミルマン覚えるよりこの最後の電流式覚える方が早くないです...
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周波数と波長のはなし

周波数と波長のはなし アマチュア無線教科書 初級アマチュア向けの教科書というのがありまして、第四級アマチュア無線技士用とか第三級アマチュア無線技士用 アマチュア無線教科書(以下 教科書) というのが JARD から出てます。法規改正のたびに版があがって、新しい教科書になるのですが、講習会でも使われていますので、そのたびに教科書に書き込んであるのを全部写さないといけないという、結構、講師泣かせな教科書です。まあ、そこはいいとして、 講習会でも使っているこの教科書、だいたいはいいとして、工学はちょっとなー。と思うところがいくつかあって 電荷の記述がない 波長の説明がアレ インピーダンスという単語がいきなりでてくる 基本的なAM(搬送波フル+両側波帯)をDSBっていう それぞれ問題なんですが、今回は一番簡単な "波長の説明がアレ" について 波長の説明 教科書では、 波長$\lambda [m]$と周波数$f [MHz]$ には次のような関係があります $\lambda = \frac{300}{f}$ と書いてあります。これで終わりです。これしかないです。これで分かれ！というのはさすがにきつくて、覚えてください。以外にないですよね？といいますか、 いきなり、300 とか謎の定数が出てきます。この300という数値で書いてある式、講師やるようになってこの教科書で初めて見ました。普通はどう書くかといいますと、光速(電磁波の伝播速度)$c$を使って $ \lambda = \frac{c}{f}$ と書きます。$c = 3\times10^8 [m/sec]$, $f$の単位は$Hz$になります。波長というのは1周期分前の時刻に出た電波がどこまで到達するかの距離で、周波数$f$の一周期にかかる時間$\frac{1}{f}$に電磁波の伝播速度cを掛けた値が波長になりますね。 $ \lambda_{[m]} = \frac{c}{f_{[Hz]}}$ の分子、分母を$10^6$で割ると分母の$f$は単位を$[Hz]$から$[MHz]$へ、分子の$c=3\times10^8[m/sec]$ は $300[Mm/sec]$になります。そこで、教科書にでてくる式 $\lambda_{[m]} = \frac{300}{f_{[MHz]}}$ になるわけです。 くらい...
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