発振器のLC位置を問う問題
発振器のLC位置を問う問題
実際の問題
LCL, CLC発振の問題です。普通は暗記ですましてしまうところですね。
こういう問題です。$X_1, X_2, X_3$ の LC を問う問題です。
解いていきましょう
最初は発振条件でやるのがいいのかと思ったのですが、実際に解いてみると、等価回路からちまちま解くのと何にも変わらない上に、発振条件を覚えておかなければならない。という発振条件を知らないひとにとっては何の意味もないことになりましたので、等価回路でちまちま解いていくことにします。
$X_2$に流れる電流 $i_{X2}$, ベースに流れる電流 $i_b$が $i_{X2} >> i_b$ であると仮定するのもいいんですが、めんどくさいので FET をモデルとて利用することとします。
バイポーラトランジスタにこだわりたいのであれば、$i_{X2} >> i_b, g_m=\frac{h_{fe}}{h_{ie}}$ と考えればいいと思います。
等価回路
ちょっとむずかしいですかね。FETの等価回路を考え、
ドレイン電圧を $v_o$ とすると、電流の和＝０の式により
$\frac{v_o}{X_1+X_2} + \frac{g_m X_2 v_o }{X_1 + X_2} + \frac{v_o}{R} + \frac{v_o}{X_3} = 0$
両辺に $\frac{R (X_1+X_2) X_3}{v_o}$ を乗ずると
$R X_3 + g_m R X_2 X_3+ (X_1+X_2)X_3 + R(X_1+X_2) = 0 \tag{1}$
$X_1, X_2, X_3$ は純虚数、$g_m, R$は実数であることを考えて
式(1)虚数部に注目すると
$R X_3 + R(X_1+X_2) = 0$
$R(X_1+X_2+X_3)=0$
$R \ne 0$ であるので
$X_1+X_2+X_3=0 \tag{2}$
式(1)の実数部に注目すると
$g_m R X_2 X_3 + (X_1+X_2)X_3 = 0$
$X_3 \ne 0$であるので、両辺を $X_3$ を除すると
$g_m R X_2 + X_1+X_2 = 0 \tag{3}$
$X_2(g_m R + 1)+X_1=0$
$X_1=-(g_m R +1) X_2 \tag{4}$
$g_m > 0, R > 0$であるので、$X_1$と$X_2$は異符号となる
式(3) と式(2)より
$g_m R X_2 - X_3 = 0$
$X_3 = g_m R X_2 \tag{5}$
$g_m>0, R > 0$であるので、$X_2$ と $X_3$ は同符号となる
まとめ
$X_1$と$X_2$は異符号となる- $X_1$がLであれば $X_2$はC
- $X_1$がCであれば $X_2$はL
$X_2$ と $X_3$ は同符号となる
- $X_2$がLであれば $X_3$はL
- $X_2$がCであれば $X_3$はC
というわけで $X_1, X_2, X_3$ の関係はつぎの2通り
- $X_1$がLであれば $X_2, X_3$はC
- $X_1$がCであれば $X_2, X_3$はL
途中にでてきた 式(2)
$X_1+X_2+X_3=0$
は発振周波数を決定するので重要だったりします
おまけ
ちなみに発振条件でやる場合には
$A = -g_m \frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{X_3}+\frac{1}{X_1+X_2}}$
$\beta = \frac{X_2}{X_1+X_2}$
を $Im(A\beta)=0, Re(A\beta)=1$で解いていきます。($Re()=1$なのは線形モデルなので
更新
タイトル、見出し、まとめつけました。式中、順の統一 Nov.2 2020
