サイコロ(立方体)の対頂点間合成抵抗
電験三種向けのYouTube動画を見ていると、サイコロ状の抵抗についての解説があって、さらっと「対称性により」で終わっていることが多い。そこをさらっと終わらせると、わからない人が続出するだろうな……と思いつつ、Claudeさんに手伝ってもらって作りました。
1. 問題設定
立方体の12辺すべてに、同じ抵抗値 R の抵抗を1本ずつ配置する。
このとき、空間対角線で結ばれる対頂点(下図の A と G)の間の合成抵抗を求めよ。
A から電流 I を流し込み、G から流れ出すと考える。
2. 対称性による電位の分類
2.1 回転操作の準備
立方体には、A と G を結ぶ空間対角線 AG を軸として、A と G の位置を変えずに図形全体を自分自身に重ね合わせる回転操作が存在する。たとえばこの軸まわりに120°回転させると、A に隣接する3頂点(B, D, E)が
B → D → E → B
の順に入れ替わる。
2.2 「回路が同じなら電位も同じ」という原理
ここが直感的に分かりにくいところなので、丁寧に確認する。
- この回転操作を行うと、12本の抵抗のつなぎ方(どの頂点とどの頂点が抵抗で結ばれているか)は、回転前とまったく同じ形に重なる。
- つまり「回転前の回路」と「回転後の回路」は、見た目のラベルが入れ替わっただけで、物理的には区別のつかない同一の回路である。
- 同じ回路に、同じ場所(A)から同じ電流 I を流し込めば、対応する点の電位は当然同じ値になるはずである。
- もし B と D で電位が違っていたら、「回転しても同じ回路になる」という前提と矛盾してしまう。
したがって、回転で互いに移り合う B, D, E は等電位である。
2.3 次隣接グループも同様
A に隣接しない残り3頂点(C, F, H)についても、同じ回転操作で
C → F → H → C
と入れ替わることが確認できる。よってこの3頂点も等電位である。
2.4 直感的なまとめ
サイコロを回しても抵抗の配置(辺のつなぎ方)は変わらない
→ 電流の流れ方も変わらない
→ 回転で入れ替わる点は、回路の中で同じ役割を担っている
→ 同じ役割の点は同じ電位
2.5 等電位点をまとめてよい理由
電位が等しい2点は、たとえ導線でつないでも電流は流れない(電位差がなければ電流は生じないため)。したがって等電位の点同士を1つのノードにまとめても、回路全体の電流分布は変わらない。この性質を使って、次章で回路を単純化する。
3. 等電位点の統合と等価回路
A-G軸の方向から立方体を眺めると、頂点は次のように整理できる。
- A(電流の入口)
- 節点①:B, D, E(A に隣接するグループ、等電位)
- 節点②:C, F, H(G に隣接するグループ、等電位)
- G(電流の出口)
さらに、節点①と節点②の間の6本の辺は B-C-D-H-E-F-B という順で一周する六角形を作っており、A から出る3本、G に入る3本と合わせてちょうど12本の辺すべてに対応している。
等電位のグループをそれぞれ1つのノードにまとめると、回路は次のような「3並列 → 6並列 → 3並列」の直列3段構造に単純化できる。
4. 各段の並列抵抗を計算
- 第1段(A → 節点①):抵抗 R が3本並列
- 第2段(節点① → 節点②):抵抗 R が6本並列
- 第3段(節点② → G):抵抗 R が3本並列
5. 合成抵抗の導出
3段は直列に接続されているので、それぞれを足し合わせる。
結論:対頂点間の合成抵抗は 5R/6 である。
